A problem z E=1/2mc2 to pomyłka pana Osiaka. Zapytałem dr Osiaka - "Czy zgadza się Pan ze stwierdzeniem kolegi _jta_" w obliczeniach dra Osiaka i tak jest błąd: w teorii względności, jeśli wzór ma być współzmienniczy względem transformacji Lorentza, nie wolno całkować (ani różniczkować) po dr, czyli v*dt, bo taki obiekt nie jest współzmienniczy, wynikiem zamiast (składowej) czterowektora jest (albo są) składowe jakiegoś tensora drugiego rzędu (albo można dostać skalar, jeśli policzy się iloczyn skalarny F*dr w przestrzeni Minkowskiego - tylko to chyba jest zero) - poprawne jest np. różniczkowanie i całkowanie po czasie własnym 'tau'. Odp. dr Osiaka: "Ta uwaga nie dotyczy mojej pracy". opis teorii względności dra Osiaka zasadniczo zawiera tylko ten jeden błąd; inne wynikają z dopasowania teorii tak, żeby wszystko się w niej zgadzało, w tym - mam wrażenie - pominięcia tego, co mogłoby uczynić błąd zbyt widocznym. W szczególności dr Osiak podaje prawidłowy wzór na czterowektor pędu, tylko w teorii Einsteina energia jest składową "czasową" tego czterowektora (pomnożoną przez 'c'), a u dra Osiaka energia ma zupełnie inną wartość. Dr Osiak: "Przy innych założeniach niż przyjmowanych w tradycyjnym wywodzie nie mogłem otrzymać takich samych wyników." Jeszcze to: http://obrazki.elektroda.pl/6702927500_1417269689_thumb.jpg Dzięki uprzejmości dr Osiaka mogę zamieścić na forum poniższy e-book: "Teoria Względności - Fale Grawitacyjne FRAGMENT" To jest bardzo ciekawe: Cewka z rdzeniem w postaci magnesu stałego może być detektorem (odbiornikiem) fal grawitacyjnych docierających do Ziemi z kosmosu lub wygenerowanych przez nas (gdy potrafimy już to robić). Nie obserwujemy wpływu naszego pola na zjawiska elektromagnetyczne, ponieważ pole grawitacyjne Ziemi jest polem stacjonarnym.
Zbigniew Osiak
Teoria Wzglêdnoœci
Fale Grawitacyjne
FRAGMENT
12
OZ ACZE IA
B – notka biograficzna
C – ciekawostka
D – propozycja wykonania doświadczenia
H – informacja dotycząca historii fizyki
I – adres strony internetowej
K – komentarz
P – przykład
U – uwaga
Zbigniew Osiak
(Tekst)
TEORIA WZGLĘD OŚCI
Fale Grawitacyjne
FRAGME T
Małgorzata Osiak
(Ilustracje)
© Copyright by
Zbigniew Osiak (text) and Małgorzata Osiak (illustrations)
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji
zabronione bez pisemnej zgody autora tekstu i autorki ilustracji.
Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej
Rafał Pudło
Wydawnictwo: Self Publishing
ISBN: 978-83-272-4269-3
e-mail: zbigniew.osiak@gmail.com
Wykład 12
TEORIA WZGLĘD OŚCI
Fale Grawitacyjne
FRAGME T
dr Zbigniew Osiak
Portrety wykonała
Małgorzata Osiak
Plan wykładu
• Równania Maxwella-Hertza
• Równania Maxwella-Hertza w STW
• Równania Maxwella-Hertza w OTW
• Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
• Grawitacyjne prawo Faradaya
• Grawitacyjne prawo Ampѐre’a
• Interakcja grawito-magnetyczna
• Grawito-magnetyczna metoda detekcji fal grawitacyjnych
• Interakcja grawito-elektryczna
• Grawito-elektryczna metoda detekcji fal grawitacyjnych
• Obwód LC w niestacjonarnym polu grawitacyjnym
• Wyznacznik metryki Schwarzschilda
10
Równania Maxwella-Hertza
• Równania opisujące pole elektromagnetyczne
zostały sformułowane przez Maxwella w 1865.
• Współczesna postać równań Maxwella została
podana przez Hertza w 1890.
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
∂B
rotE = −
∂t
divB = 0
∂D
rotH = j +
∂t
divD = ρ
E – natężenie pola elektrycznego
D – indukcja elektryczna
B – indukcja magnetyczna
H – natężenie pola magnetycznego
j – gęstość prądu
ρ – gęstość ładunku elektrycznego
• J. C. Maxwell: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field.
Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865) 459-512.
Heinrich Rudolf Hertz
(1857-1894)
• H. R. Hertz: Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik für ruhende Körper.
Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-AugustsUniversität zu Göttingen (1890) 106-149.
45
Równania Maxwella-Hertza w STW
46
• Równania Maxwella-Hertza zostały zapisane w
1908 przez Minkowskiego w czterowymiarowej
postaci tensorowej w ramach STW.
∂B
4 ∂E µν
∂t → ∑ ν = 0
∂x
divB = 0 ν =1
∂D
4 ∂H µν
= Jµ
∂t → ∑
ν
ν =1 ∂x
divD = ρ
rotE = −
Hermann Minkowski
(1864-1909)
E
µν
0
− iE
z
=
iE y
cB x
rotH = j +
(µ = 1,2,3,4)
iE z
− iE y
0
− iE x
cB y
iE x
0
cBz
− cBx
− cB y
− cBz
0
H
µν
0
− H
z
=
Hy
icD x
Hz
− Hy
0
− Hx
icD y
Hx
0
icD z
− icD x
− icD y
− icD z
0
Jµ – składowa czterowektora gęstości prądu
• H. Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern.
Nachrichten [von der Königlich Gesellschaft der Wissenschaften zu] Göttingen [Mathematisch-physikalische Klasse] (1908) 53-111.
Równania Maxwella-Hertza w OTW
Friedrich Kottler
(1886-1965)
Albert Einstein
(1879-1955)
Elie Joseph Cartan
(1869-1951)
47
David van Dantzig
(1900-1959)
• Równania Maxwella-Hertza w postaci ogólnie kowariantnej
przedstawili niezależnie od siebie: Kottler w 1912, Einstein w 1913,
1914 oraz 1916, Cartan w 1923-1924 i van Dantzig w 1934.
(
∂ g E µν
∂x ν
)=0
(
∂ g H µν
∂x ν
)=
gJµ
Równania Maxwella-Hertza w OTW
(
∂ g E µν
∂x ν
)=0
(
∂ g H µν
∂x ν
)=
gJµ
• g – wyznacznik tensora metrycznego czasoprzestrzeni
• Friedrich Kottler: Über die Raumzeitlinien der Minkowskischen Welt.
Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften 121 (1912) 1659-1759.
• A. Einstein, M. Grossmann: Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation.
Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 3 (1913) 225-261. [Patrz: wzory (23) i (24)]
• A. Einstein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie.
Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 2, 41 (1914) 1030-1085.
• A. Einstein: Eine neue formale Deutung der Maxwellschen Feldgleichungen der Elektrodynamik.
Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 7 (1916) 184-188.
• É. J. Cartan: Sur les variétés a connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (premiere partie).
Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 40 (1923) 325-412.
• É. J. Cartan: Sur les variétés a connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (premiere partie) (suite).
Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 41 (1924) 1-25. [Strony 17-24 poświęcone są równaniom Maxwella.]
• D. van Dantzig: The fundamental equations of electromagnetism, independent of metrical geometry.
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (1934) 421-427.
48
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
49
∂ gB
∂B
4 ∂E µν
4 ∂ g E µν
rot g E = −
=0→
∂t
∂t → ∑ ν = 0 → ∑
∂x
∂x ν
ν =1
div g B = 0
divB = 0 ν =1
rotE = −
∂ gD
∂D
4 ∂H µν
4 ∂ g H µν
rot g H = g j +
= Jµ → ∑
= gJµ →
∂t
∂t → ∑
∂x ν
∂x ν
ν =1
ν =1
div g D = gρ
divD = ρ
rotH = j +
(µ = 1,2,3,4)
E µν
0
− iE
z
=
iE y
cB x
iE z
0
− iE y
iE x
− iE x
cB y
0
cBz
− cBx
− cB y
− cBz
0
• Z. Osiak: Ogólna Teoria Względności. Self Publishing (2012) www.virtualo.pl
H µν
0
− H
z
=
Hy
icD x
Hz
0
− Hy
Hx
− Hx
icD y
0
icD z
− icD x
− icD y
− icD z
0
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
( )
( )
∂
rot g E = −
∂t
div g B = 0
(
gB
)
rot (ϕa ) = ϕ rot a + (grad ϕ)× a
div(ϕa ) = ϕ div a + a ⋅ grad ϕ
∂B B ∂g
1
−
rotE + (grad g )× E = −
∂t 2g ∂t
2g
1
divB + B ⋅ (grad g ) = 0
2g
50
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
∂B B ∂g
1
(grad g )× E = − −
rotE +
2g
∂t 2g ∂t
1
divB +
B ⋅ (grad g ) = 0
2g
Założenie
grad g = 0
∂B B ∂g
−
∂t 2g ∂t
divB = 0
rotE = −
51
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
∂B B ∂g
−
∂t 2g ∂t
divB = 0
rotE = −
∫∫ rotA ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S
l
∫∫∫ divA dV = ∫∫ A ⋅ dS
V
S
∂g
∂
1
∫l E ⋅ dl = − ∂t ∫∫ B ⋅ dS − 2g ∫∫ B ⋅ dS ∂t
S
S
∫∫ B ⋅ dS = 0
S
∂A
∂
⋅ dS = ∫∫ A ⋅ dS
∫∫ ∂t
∂t S
S
52
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
∂g
∂
1
∫l E ⋅ dl = − ∂t ∫∫ B ⋅ dS − 2g ∫∫ B ⋅ dS ∂t
S
S
df
SEM = ∫ E ⋅ dl
l
∂g
∂
1
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS
∂t
∂t S
2g S
53
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
(
(
)
)
∂
rot g H = g j +
∂t
div g D = g ρ
(
gD
)
rot (ϕa ) = ϕ rot a + (grad ϕ)× a
div(ϕa ) = ϕ div a + a ⋅ grad ϕ
1
∂D D ∂g
(grad g )× H = j + +
rotH +
∂t 2g ∂t
2g
1
D ⋅ grad g = ρ
divD +
2g
54
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
1
∂D D ∂g
(grad g )× H = j + +
rotH +
2g
∂t 2g ∂t
1
divD +
D ⋅ grad g = ρ
2g
Założenie
grad g = 0
∂D D ∂g
+
rotH = j +
∂t 2g ∂t
divD = ρ
55
Zmodyfikowane równania Maxwella-Hertza
∂D D ∂g
+
rotH = j +
∂t 2g ∂t
divD = ρ
∫∫ rotA ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S
l
∫∫∫ divA dV = ∫∫ A ⋅ dS
V
S
∂A
∂
⋅ dS = ∫∫ A ⋅ dS
∫∫ ∂t
∂t S
S
∂g
∂
1
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∫∫ D ⋅ dS ∂t
S
S
S
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV
S
V
56
Grawitacyjne prawo Faradaya
• Grawitacyjne prawo Faradaya stanowi, że w wyniku oddziaływania
niestacjonarnego pola grawitacyjnego ze stacjonarnym polem
magnetycznym powstaje pole elektryczne.
∂B B ∂g
rotE = −
−
• Postać różniczkowa
∂t 2g ∂t
∂g
∂
1
∫l E ⋅ dl = − ∂t ∫∫ B ⋅ dS − 2g ∫∫ B ⋅ dS ∂t • Postać całkowa
S
S
57
Grawitacyjne prawo Ampѐre’a
• Grawitacyjne prawo Ampѐre’a głosi, że w wyniku oddziaływania
niestacjonarnego pola grawitacyjnego ze stacjonarnym polem
elektrycznym powstaje pole magnetyczne.
∂D D ∂g
+
rotH = j +
• Postać różniczkowa
∂t 2g ∂t
∂g
∂
1
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∫∫ D ⋅ dS ∂t • Postać całkowa
S
S
S
58
Interakcja grawito-magnetyczna
• Interakcja grawito-magnetyczna to zjawisko polegające na tym, że
fala grawitacyjna, przechodząc przez obwód znajdujący się w stałym
polu magnetycznym (nieruchomy względem wektora indukcji
magnetycznej tego pola), indukuje w nim siłę elektromotoryczną.
∂g
∂
1
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS
∂t
∂t S
2g S
59
Interakcja grawito-magnetyczna
∂g
∂
1
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS
∂t
∂t S
2g S
∫∫ B ⋅ dS = BnS
S
BnS ∂g
∂
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS −
2g ∂t
∂t S
60
Interakcja grawito-magnetyczna
∂
BnS ∂g
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS −
∂t S
2g ∂t
• B – wartość wektora indukcji magnetycznej magnesu stałego
• n – liczba zwojów cewki
• S – powierzchnia jednego zwoju
• g – wyznacznik tensora metrycznego czasoprzestrzeni
61
Grawito-magnetyczna metoda detekcji fal grawitacyjnych
∂
BnS ∂g
SEM = − ∫∫ B ⋅ dS −
∂t S
2g ∂t
• Proponowana grawito-magnetyczna metoda detekcji fal
grawitacyjnych, wykorzystująca zjawisko interakcji grawitomagnetycznej, polega na tym, aby cewkę z rdzeniem z magnesu
stałego umieścić w klatce Faradaya.
• Fala grawitacyjna, przechodząc przez cewkę, spowoduje powstanie
w niej siły elektromotorycznej.
62
Interakcja grawito-elektryczna
• Interakcja grawito-elektryczna to zjawisko polegające na tym, że
fala grawitacyjna, przechodząc przez stacjonarne jednorodne pole
elektryczne, na przykład istniejące między okładkami naładowanego
kondensatora płaskiego, indukuje w nim pole magnetyczne.
∂g
∂
1
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∫∫ D ⋅ dS ∂t
S
S
S
63
Interakcja grawito-elektryczna
64
∂g
∂
1
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∫∫ D ⋅ dS ∂t
S
S
S
∫∫ D ⋅ dS = DnS = ε ε ES
0 r
S
∫ H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS +
l
S
ε ε ES ∂g
∂
D ⋅ dS + 0 r
2g ∂t
∂t ∫∫
S
• D – wartość wektora indukcji elektrycznej
• E – wartość wektora natężenia pola elektrycznego
• ε0εr – przenikalność elektryczna dielektryka
• S – powierzchnia okładki kondensatora płaskiego
• g – wyznacznik tensora metrycznego czasoprzestrzeni
Grawito-elektryczna metoda detekcji fal grawitacyjnych
ε 0 ε r ES ∂g
∂
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∂t
S
S
• Proponowana grawito-elektryczna metoda detekcji fal
grawitacyjnych, wykorzystująca zjawisko interakcji grawitoelektrycznej, polega na tym, aby naładowany płaski kondensator z
dielektrykiem między jego okładkami umieścić w klatce Faradaya.
• Fala grawitacyjna, przechodząc przez kondensator, spowoduje
powstanie w nim pola magnetycznego.
65
Obwód LC w niestacjonarnym polu grawitacyjnym
∂g
∂
1
∫l E ⋅ dl = − ∂t ∫∫ B ⋅ dS − 2g ∫∫ B ⋅ dS ∂t
S
S
∂g
∂
1
∫l H ⋅ dl = ∫∫ j ⋅ dS + ∂t ∫∫ D ⋅ dS + 2g ∫∫ D ⋅ dS ∂t
S
S
S
∂B B ∂g
rotE = −
−
∂t 2g ∂t
∂D D ∂g
rotH = j +
+
∂t 2g ∂t
• Powyższe równania można wykorzystać do opisu wpływu fali
grawitacyjnej na zjawiska w obwodzie LC umieszczonym w klatce
Faradaya, utworzonym z cewki z rdzeniem w postaci magnesu
stałego i kondensatora z dielektrykiem między jego okładkami.
• Układ taki może być przydatny do detekcji fal grawitacyjnych.
66
Wyznacznik metryki Schwarzschilda
67
• Wyznacznik tensora metrycznego
czasoprzestrzeni Schwarzschilda jest równy
jedności.
Carl Schwarzschild
(1873-1916)
• Pole grawitacyjne Ziemi jest przykładem
czasoprzestrzeni Schwarzschilda i dlatego nie
obserwujemy wpływu naszego pola na zjawiska
elektromagnetyczne.
xα xβ
2
(ds ) = δ αβ + 2
r
r
1 − S
r
−1
r
− 1 dx α dx β + δ 44 − S
r
4 4
dx dx ,
2GM
x1 = x , x 2 = y, x 3 = z, x 4 = ict , rS = 2
c
g =1
• Z. Osiak: Ogólna Teoria Względności. Self Publishing (2012) www.virtualo.pl
(α, β = 1,2,3)